Srinivasa Ramanujan

Une équation ne signifie rien pour moi, si elle n’exprime une pensée de Dieu.

Srinivasa Ramanujan

Srinivasa Ramanujan est – à mon sens – le plus génial mathématicien de L’Histoire, autodidacte qui plus est. Ses formules, notées sur son cahier, n’ont pas encore livré tous leurs secrets…

Srinivâsa Aiyangâr Râmânujan, est né le 22 décembre 1887 à Erode en Inde, dans une famille de brahmanes (classe regroupant notamment les prêtres, les sacrificateurs, les professeurs et les hommes de loi) pauvre et orthodoxe.
Son père travaillait en tant que commis dans un magasin de sari et sa mère était femme au foyer et chantait au temple. Sa tendre enfance fut tristement marquée par la mort de son frère alors que Srinivasa n’était âgé que de 2 ans, il eut la même année une variole dont il guérit.
En 1991 et en 1994 il perdu d’autres frères qui moururent en bas âge.
En primaire, Ramanujan changea de domicile pour habiter avec ses grands-parents, il n’allait cependant pas en cours et ses parents eurent recours à un agent de police pour le contraindre à s’y rendre. Des les six mois, il retourna vivre chez eux.
Dès lors il entretint une relation étroite avec sa mère qui lui apprit la tradition indienne et les chants religieux pour assister à pujas au temple.

Juste avant ses 10 ans, en novembre 1897, Ramanujan termina premier de son quartier aux examens d’anglais, de tamoul, de géographie et d’arithmétique.
À l’âge de 11 ans, il avait déjà atteint un meilleur niveau en mathématiques que deux universitaires en location chez lui. Plus tard, il reçut ses certificats de mérite et une bourse universitaire.

En 1902, il avait apprit la mathématique l’aide de seulement deux livres: La Trigonométrie plane de S. Looney, et Synopsis of Elementary Results in Pure Mathematics de S. Carr qui contenait près de 6 000 théorèmes sans démonstration.
L’année suivante (en 1903) Ramanujan fut admis dans un collège gouvernemental du sud de l’Inde et eut entre les mains un livre de George S. Carr, intitulé A Synopsis of Elementary Results in Pure and Applied Mathematics.
À 17 ans, il avait étudié en profondeur les nombres de Bernoulli et avait calculé la constante d’Euler jusqu’à 15 décimales. Ses camarades affirmaient « rarement le comprendre ».

En 1904, il obtint son diplôme à la Town Higher Secondary School de Kumbakonam; il reçu le prix K. Ranganatha Rao des mains du directeur M. Krishnaswami Iyer. C’est ce-dernier qui introduisit Ramanujan au Government College en tant qu’étudiant exceptionnel mais à cause de son travail exclusivement mathématique, il perdit sa bourse et en août 1905, il s’enfuit de la maison.

ramacarnets2

Page du carnet de Ramanujan

Durant cette période il utilisait une ardoise en tant que brouillon et inscrivait tous ses résultats dans son carnet.
Plus tard, il s’inscrivit au collège Pachaiyappa mais rata l’examen, en décembre 1906 et de nouveau un an plus tard. Il continua cependant à poursuivre des recherches indépendantes tout en vivant dans une pauvreté extrême.

A 22 ans, sa mère décide de le marier à Srimathi Janaki alors âgée de 10 ans. Il montre ses carnets pour tenter d’intéresser quelqu’un mais, ses mathématiques ne sont pas comprises par son entourage.

Il réussit cependant à 24 ans à publier un article dans le journal de la société des mathématiques indiennes où il y demande de trouver la valeur d’une racine continue, sans surprise personne n’y parvint alors que Ramanujan connaissait la réponse et trouva même la formule générale.
En effet, on peut écrire tous les entiers sous la forme d’une suite infinie de radicaux. Ainsi, 3=\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4\sqrt{...}}}} et de manière générale il trouva que  x+n+a=\sqrt{ax+(n+a)^2+x\sqrt{a(x+n)+(n+a)^2+(x+n)\sqrt{a(x+2n)+(n+a)^2+(x+2n)\sqrt{...}}}} .

godfrey_harold_hardy_1

Godfrey Harold Hardy

A 25 ans il trouva un emploi en tant qu’agent comptable à Madras; le directeur de la société était un ingénieur anglais et le président de celle-ci était un mathématicien indien. Tous deux le poussent – en remarquant son génie – à contacter des mathématiciens britanniques.

Le 13 janvier 1913, G.H. Hardy – alors qu’il vient de prouver que la fonction zêta de Riemann a une infinité de zéro le long de la ligne critique 1/2 – reçoit une longue lettre accompagnée de plus de 120 formules non justifiés. A vrai dire, trois mathématiciens la reçurent mais ce fut le seul s’y intéresser. La voici:

Dear Sir,

I beg to introduce myself to you as a clerk in the Accounts Department of the Port Trust Office at Madras on a salary of only £20 per annum. I am now about 23 years of age. I have had no University education but I have undergone the ordinary school course. After leaving school I have been employing the spare time at my disposal to work at Mathematics. I have not trodden through the conventional regular course which is followed in a University course, but I am striking out a new path for myself. I have made a special investigation of divergent series in general and the results I get are termed by the local mathematicians as ‘startling’.

Just as in elementary mathematics you give a meaning to a^n when n is negative and fractional to conform to the law which holds when n is a positive integer, similarly the whole of my investigations proceed on giving a meaning to Eulerian Second Integral for all values of n. My friends who have gone through the regular course of University education tell me that \int_{0}^{\infty}x^{n-1}e^{-x}dx=\Gamma (n) is true only when n is positive. They say that this integral relation is not true when is n negative. Supposing this is true only for positive values of and also supposing the definition n\Gamma (n)=\Gamma (n+1) to be universally true, I have given meanings to these integrals and under the conditions I state the integral is true for all values of n negative and fractional. My whole investigations are based upon this and I have been developing this to a remarkable extent so much so that the local mathematicians are not able to understand me in my higher flights.

Very recently I came across a tract published by you styled Orders of Infinity in page 36 of which I find a statement. that no definite expression has been as yet found for the number of prime numbers less than any given number. I have found an expression which very nearly approximates to the real result, the error being negligible. I would request you to go through the enclosed papers. Being poor, if you are convinced that there is anything of value I would like to have my theorems published. I have not given the actual investigations nor the expressions that I get but I have indicated the lines on which I proceed. Being inexperienced I would very highly value any advice you give me. Requesting to be excused for the trouble I give you.

I remain, Dear Sir, Yours truly,
S. Ramanujan

Le mathématicien est surpris et pense tout d’abord à un canular avant de repérer des formule connues et d’autres inconnues mais pourtant justes.
Il partage sa surprise avec un autre mathématicien, John Littlewood, il tombent d’accord: Ramanujan est un génie de la mathématique.

Elles devaient être vraies car si elles ne l’étaient pas, personne au monde n’aurait eu assez d’imagination pour les inventer.

Godfrey Harold Hardy

La mère de Ramanujan a dit – après avoir prié une déesse locale – rêvé de son fils s’asseyant parmi un groupe d’Européens avec un grand halo l’entourant. Ceci l’a convaincue du caractère bénéfique du voyage de son fils.
C’est en 1914 que le mathématicien indien rejoint Londres et travaille avec Hardy au Trinity College de Cambridge. Il devient docteur en 1916.
Cependant, il tombe malade en 1918 peut-être à cause du régime strictement végétarien que suit Ramanujan, difficile à satisfaire dans l’Angleterre rationnée par la guerre. Il fait une tentative de suicide en se jetant devant un métro mais – par miracle – est sauvé.
Pendant leurs 5 années de collaboration le génie de Srinivasa ne faisait que de se développer:

Je me souviens d’une fois où j’arrivai à son chevet à Putney. J’avais été conduit par le taxi numéro 1 729 ; la morosité qui semblait émaner de ce nombre avait attiré mon attention. J’espérais qu’il ne constituait pas un mauvais présage. “Non, me répondit-il, c’est un nombre fort intéressant ; c’est le plus petit que l’on puisse exprimer comme somme de deux cubes de deux manières différentes.”

Godfrey Harold Hardy

En effet, 1729=12^3+1^3=10^3+9^3 , 1 729 est depuis connu sous le nom de nombre de Hardy-Ramanujan.

Pour vous donner une idee de leur oeuvre, voici une de leurs decouvertes les plus célèbres : il s’agit du nombre des partitions d’un entier donné, un problème qui remonte au XVIIIème siècle. Pour chaque entier n on se demande de combien de façons on peut le grouper en n objets. On note ce nombre p(n). Par exemple, pour n = 5 il y a sept groupements possibles, 1 + 1 + 1 + 1 + 1, 1 + 1 + 1 + 2,1 + 1 + 3, 1 + 2 + 2, 1 + 4, 2 + 3, 5, et par consequent p(5) est égal à 7.

Pour n = 1, 2, 3, 4 ou 6 on peut compter les partitions de la même façon:

n p(n) Groupements
1 1 1
2 2 1 + 1, 2
3 3 1 + 1 + 1, 1 + 2, 3
4 5 1 + 1 + 1 + 1, 1 + 1 + 2, 1 + 3, 2 + 2, 4
6 11 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1, 1 + 1 + 1 + 1 + 2,
1+ 1+ 1+ 3, 1 + 1 + 2 +2, 1+ 1 + 4,
1 + 2 + 3, 1 + 5, 2 + 2 + 2, 2 + 4, 3 + 3, 6

Mais cette méthode marcherait évidemment assez mal pour n = 200, puisque p(200) = 3 972 999 029 388. Celle valeur a ete calculée (à la main) par Major MacMahon en 1917 en utilisant une formule récursive due à Euler.
Le resultat de Hardy et Ramanujan n’est pas une formule exacte de p(n), mais une approximation si incroyablement précise qu’elle permet un calcul exact. Elle consiste en une somme de termes élémentaires (mais trop compliqués pour être détaillés ici) dont déjà les deux premiers permettent d’obtenir p(2oo) à une erreur d’environ 82 et les huit premiers avec une erreur de 0,004. Sachant que p(200) est un entier, on retrouve donc même sa valeur exacte.
Ils travaillèrent en fait sur les propriétés de plusieurs fonctions arithmétiques et en 1917 il devint le premier mathématicien indien membre de la Royal Society.
Il développa de nombreuses formules pour calculer pi qui sont toujours utilisés dans la quête de décimales, en voici une qui permet de calculer 8 décimales supplémentaires à chaque itération: \pi =\frac{9801}{2\sqrt{2}}\left (\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(4n)!(1103+26390n )}{(n!)^4396^{4n}}\right )^{-1} . Il est ainsi l’auteur de dizaines de formules mêlant pi, e, le nombre d’or et infini… \sqrt{\frac{e\pi }{2}}=1+\frac{1}{1*3}+\frac{1}{1*3*5}+\frac{1}{1*3*5*7}+\frac{1}{1*3*5*7*9}+...+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{2}{1+\frac{3}{1+\frac{4}{1+\frac{5}{1+\frac{6}{1+...}}}}}}} . Ils travaillèrent également sur les nombres hautement composés. 1

En 1919, il décide de rentrer en bateau dans son pays natal; très faible il est soigné par sa mère et son épouse tout en continuant ses recherches.
En janvier 1920, il envoie – sept ans après sa première lettre à Hardy – sa dernière lettre dans laquelle il développe réflexions sur des objets mathématiques complexes: les mock theta functions. Il nota comme à son habitude l’ensemble de ses travaux sur un carnet.
Le 26 avril, Srinivasa Ramanujan meurt – probablement de la tuberculose – en laissant un inestimable héritage scientifique dernière lui.

C’est débat 1976 que le professeur G. Andrews découvre au Trinity College un ensemble de 138 pages écrites de la main de Ramanujan, le fameux « carnet perdu » rédigé peu avant sa mort. Celui-ci contient les travaux les plus profonds du génie…
Le décodage de ces écrits occupa tout le XXème siècle et c’est entre 1985 et 1997 qu’ils ont enfin été publiés (en cinq volumes).

Ramanujan a donc redécouvert ne partie significative des mathématiques occidentales sans le moindre enseignement en la matière et découvert des centaines de théorèmes qu’il ne jugeait utile de démontrer… Malgré cela son génie et incontestable et s’éteignit comme beaucoup d’autres bien trop tôt.

Sources

Pour aller plus loin…

Publicités

Une réflexion sur “Srinivasa Ramanujan

  1. Pingback: Le fascinant nombre π | Abstraction mathématique

Laisser un commentaire

Entrez vos coordonnées ci-dessous ou cliquez sur une icône pour vous connecter:

Logo WordPress.com

Vous commentez à l'aide de votre compte WordPress.com. Déconnexion / Changer )

Image Twitter

Vous commentez à l'aide de votre compte Twitter. Déconnexion / Changer )

Photo Facebook

Vous commentez à l'aide de votre compte Facebook. Déconnexion / Changer )

Photo Google+

Vous commentez à l'aide de votre compte Google+. Déconnexion / Changer )

Connexion à %s