La quatrième dimension

La quatrième dimension, dans l’imaginaire collectif occupe une place de choix comme en témoignent les nombreuses œuvres de science-fiction inspirées du sujet. Elle est également un pilier essentiel aux récents travaux en physique théorique à l’image de la théorie des supercordes.


Cependant avant de voyager vers ce monde inconnu il serait peut être plus simple de définir les bases: qu’est-ce qu’une dimension ?
Il existe en réalité une réponse très simple à cette interrogation: une dimension est caractérisée par une direction de déplacement. La ligne droite ne compte qu’une direction, le plan deux et l’espace trois. Par définition l’hyperespace en compte 4. La notion de direction utilisée ici doit être comprise différemment de la notion de sens, une direction correspond à deux sens. Nord-Sud est une direction alors que Nord est un sens. Une autre condition indispensable est que les directions doivent être indépendantes, on ne peut reproduire l’une d’entre elles à partir des autres.
Ainsi si on ajoute une direction en diagonale aux directions Gauche-Droite et Haut-Bas d’un plan, aucun nouveau point n’est atteignable. Par conséquent la diagonale n’est pas indépendante et ne peut constituer un espace à trois dimensions. Quelque soit le choix des directions : il en faudra deux pour atteindre la totalité du plan, c’est ici la définition rigoureuse de la dimension 2.
Pour la suite de nos réflexions considérons les dimensions les plus couramment utilisés : celles perpendiculaires entre elles. En 3D il s’agit de: Gauche-Droite, Haut-Bas et Avant-Arrière.
Comme on peut l’imaginer ce n’est pas la définition de la 4D qui présente le plus d’intérêt mais bien ses curiosités et représentations.
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Ces-dernières sont inéluctable pour appréhender ce nouveau monde, il est en effet impossible pour un être humain – du moins personne n’a jamais laissé entendre qu’il le pouvait – d’imaginer une direction perpendiculaire aux trois autres. Le premier pas dans la représentation fut fait à la fin du XIXème par Charles Howard Hinton qui donna à un noms aux deux sens : ana et kata du grec vers le haut et vers le bas.
L’une des premières solutions envisagées est de réaliser une analogie: comment expliquer la 3D à un être vivant en 2D ? Tout d’abord, que verrait-il si une sphère traversait son plan ? Elle apercevrait un arc de cercle de plus en plus grands puis de plus en plus petits avant de subitement ne plus rien voir. C’est ce qui est décrit dans le roman Flatland où la rencontre d’un carré et d’une sphère constitue l’intrigue.

L’Étranger : En un certain sens, je suis effectivement un Cercle, et un Cercle plus parfait que tous ceux de Flatland ; mais, pour être plus précis, je suis plusieurs Cercles en un.

Ainsi si une hypershprère traversait notre espace nous verrions une sphère – ou plutôt une partie de celles-ci – apparaître, grandir, rétressir et disparaître. Étrange n’est-ce pas ? Pour ce qui est du cube, s’il est parallèle au plan, la créature bidimentionnelle verrait apparaître puis disparaître un/des segment(s) perpendiculaires entre eux. De la même manière, un hypercube qui traverserait notre espace serait équivalent à l’apparition d’un carré ou des plusieurs carrés perpendiculaires entre eux (une partie de cube en somme).
Mais si nous faisons varier l’orientation du cube dans le premier cas, il apparaîtra non plus comme un carré mais comme un triangle ou un hexagone. De même un hypercube apparaîtrait comme une succession de solides.
Une autre manière de représenter la quatrième dimension est de recourir à la perspective.  Elle est basée sur un principe très simple, en effet comme on cherche à représenter sur une feuille de papier nous utilisons la diagonale pour symboliser la direction Avant-Arrière. Nous pouvons faire de même pour le cube de cette 4D dans le plan dans l’espace. Cependant les faces et les arêtes seront déformé dans le cas du cube et les cellules, face et arêtes dans le second cas.

Hypercube.gif

Hypercube tournant sur lui-même

De plus, en fonction du point de vue la représentation peut tout à fait changer, un cube représenté sur un plan peut apparaître comme un hexagone. De la même manière un hypercube peux avoir quantité d’aspects selon orientation.
Il est également possible de faire tourner la figure sur elle-même et assister à un étonnant mouvement de transformation.

D’autres figures qui nous sont familières peuvent à leur tour avoir l’équivalent dans cette fameuse quatrième dimension à l’image de l’hyperpyramide. Mais des figures totalement abstraites peuvent être créés.

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Bouteille de Klein

La bouteille de Klein est une bouteille dont le goulot est collé au fond sans traverser la dite bouteille. Elle ne possède ainsi ni intérieur ni extérieur…

Il est également intéressant de réfléchir sur ce qu’il est possible de faire dans ce monde. Tout d’abord, imaginons le dessin d’une main sur un plan. Du point de vue de ce-dernier la main ne peut être retournée mais pour un individu de la troisième dimension – autrement dit nous – cela est enfantin. Il suffit de prendre la main, de la retourner puis de la replacer. De manière analogue, il est théoriquement possible de se symétriser. Le cœur serait à droite, le pouce gauche à gauche… Et cela en nous ôtant de notre dimension puis en nous « retournant ».
De plus, comme nous voyons à la fois l’intérieur et l’extérieur d’un carré, un hyper-individu serait capable de faire de même avec nous et de nous opérer sans même nous ouvrir. Extraire des objets, couper des tissus, ôter des tumeurs serait du même niveau de difficulté que de ramasser une pièce sur une table. Les mines inexplorées et l’intérieur des coffres-forts des carrés et autres cercles nous serait totalement visible.
Cependant il existe également des applications moins honnêtes liés à ces fameux coffre-forts. Prendre leur contenu est tout aussi aisé, et pour prendre la fuite il suffit d’emprunter la direction ana – par exemple – pour être totalement invisible et hors de portée. S’échapper de prison revient sensiblement au même !

Devant tant d’étrangetés on peut se questionner sur l’origine de celles-ci. Qui fut assez fou – ou génial – pour franchir le pas. Comme dans beaucoup de domaines, il faut remonter à Aristote pour comprendre la vision antique des choses. Selon lui, il existe le point, la ligne, le plan, les solides. Cela décrit selon lui l’ensemble de l’Univers.
Ptolémée tente 150 ans plus tard de prouver centre affirmation. Bien que le succès ne fut pas au rendez-vous cette croyance perdura des siècles. La Bible (Lettre de saint Paul aux Éphésiens 3:17à19), l’invention des coordonnés au XIVe siècle, les réflexions philosophiques ne font état que de trois directions perpendiculaires. Au XVIIe siècle More est le premier à l’imaginer, il la considère uniquement du point de vue spirituel pour y loger l’âme et l’esprit. Faisons une pause dans notre avancée historique afin d’étudier les conséquences de ces affirmations jusqu’à nos jours. Le développement de ce domaine de recherche a permis une explication scientifique à de nombreuses questions bien qu’aucune preuve ne fut apportée. Les fantômes et morts habiteraient ainsi dans une quatrième dimension spatiale. Ils pourraient ainsi – comme nous l’avons vu – traverser les murs et nous faire ressentir des douleurs à des endroits précis. D’autres sont partisans d’un Dieu habitant dans l’infini-ième dimension, il serait ainsi infiniment puissant, omniscient et infiniment proche de chacun d’entre nous. Je le répète toute fois, cela est du domaine de la croyance – si respectable qu’elle soit -, ce n’est en aucun cas une théorie appuyée par des preuves au sens où la science l’entend.
Une fois ce premier pas faut Wallis constate l’indépendance de l’arithmétique et de la géométrie. On peut très bien réaliser des calculs en multipliant un cube par son côté et construire une théorie mathématique, il les considère toutefois comme:

 

Des monstres de la nature, moins vraisemblables que les chimères ou les centaures

Kant défend lui que l’espace et le temps ne peuvent être réellement perçus et que Dieu a très bien pu créer des dimensions supérieures.
Au XVIIIe d’Alembert puis Lagrange proposent l’idée selon laquelle le temps serait une quatrième dimension – idée qu’utilisera Einstein dans son modèle d’espace-temps.
Le siècle suivant est marqué par le développement mathématique de ce concept. Cayley publie Géométrie analytique à n dimensions et Riemman réalise de nombreux travaux. Il conclut que l’électricité, le magnétisme et la gravité sont dus au froissement de notre univers 3D dans un espace à quatre dimensions. Poincaré met en place en 1905 les bases mathématiques de la théorie de la relativité en développant un espace vectoriel à quatre dimensions. Ce fut ensuite les physiciens dont l’immensément connu Albert Einstein qui donnèrent une réalité physique à la 4D, mais c’est bien avec la théorie des cordes que toutes nos considérations sur la dimension 4 spatiale prennent placent. Il faut cependant contenir son enthousiasme, ces 19 dimensions seraient microscopiques et enroulées sur elles-mêmes…

Sources

Pour aller plus loin…

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