Le fascinant nombre π

Le rapport entre la circonférence d’un cercle et son diamètre sur un plan euclidien. Cette définition est comme vous l’avez sûrement deviné celle de π. Ce n’est pas la seule qui existe, loin s’en faut, mais cet élément d’une apparente simplicité recèle nombre de surprises et de mystère.

Pour comprendre pourquoi ce nombre paraît si particulier nous allons explorer chacun des ensembles de nombres. Le premier de ceux-ci est celui des entiers naturels \mathbb{N}=\{0;1;2;3;4;5;6;7;8;9...\}; cependant à aucun moment de l’Histoire de la constante sa valeur n’a semblé appartenir à cet ensemble. Une citation de la Bible souvent utilisée pour contredire cette affirmation est la suivante :

Il fit la mer de fonte, de dix coudées d’un bord à l’autre, ronde tout autour, sa hauteur était de cinq coudées, et sa circonférence était de trente coudées tout autour.

Premier Livre des Rois, Chapitre 7, 23

Une première interprétation est la suivante : C=2\pi r\Leftrightarrow \pi=\frac{C}{2r}=\frac{C}{D}=\frac{30}{10}=3. Mais, il est également possible que le mot qaw – circonférence en hébreu – soit ici utilisé à la place du mot qawo présentant la même prononciation. Dans ce cas, une anomalie scripturale (qeri kethiv) existe et le rapport mathématique entre ces deux versions est de 111 / 106 = 1,0471698.... Cette fois nous avons donc  \pi = 3*\frac{111}{106} \simeq 3,1415094.... L’erreur est ainsi de 0,00008321962... ou 0,002648963...\%. Dès lors si cette interprétation est retenue, l’approximation est très bonne mais relève-t-elle du hasard ?
L’ensemble suivant est celui des entiers relatifs \mathbb{Z}=\{...-3;-2;-1;0;1;2;3...\} maths_2-nombres-premiers-ensemble_01mais il inconcevable qu’ajouter les nombres négatifs permettent une meilleure approximation de π. L’ensemble $latex \mathbb{D}$ des nombres décimaux permet des approximations aussi précises que l’on souhaite comme 3,141592653589793238.

\mathbb{Q} est pour les pythagoriciens l’ensemble contenant tout nombre dont bien entendu pi, cependant  en 1761 le mathématicien Lambert démontra le contraire : pi est irrationnel ! Il n peut pas s’écrire comme le ratio de deux entiers. Cette étape nous permet tout de même d’obtenir le célèbre \frac{22}{7}. Les choses deviennent vraiment intéressantes à partir de maintenant : Ferdinand von Lindemann parvint à démontrer en 1882 que π n’est pas algébrique, il n’est solution d’aucune équation polynomiale. Alors que \sqrt{2} est une solution de x^{2}=2 rien de tel n’existe pour π. On dit qu’il est transcendant. Ainsi, on ne peut construire à la règle et au compas un segment de longueur π. Il en déduit que la quadrature du cercle est impossible.

Nous pourrions nous dire que nous avons atteint le niveau de complexité maximum mais avant de révoquer ces dires, j’aimerai prendre un instant pour rappeler que les nombres rationnels sont infiniment moins nombreux que les nombres réels1 et la probabilité qu’un nombre pris au hasard dans une liste infinie ressemble à pi du point de vue de ces premières caractéristiques n’est pas très faible, bien au contraire : elle est de 1. Nous sommes donc en présence d’un nombre tout à fait normal – au sens commun du terme tout d’abord-. J’ajouterai même que nous avons une chance immense, une probabilité nulle même que ce nombre soit calculable, et pourtant il l’est ! Nous reviendrons dans un futur article sur cette notion mais cela signifie qu’il existe au moins un algorithme capable de le générer, voyons par conséquent les méthodes utilisées dans ce but depuis l’antiquité.

Au IIIème siècle avant notre ère., dans son ouvrage « De la mesure du cercle« , Archimède de Syracuse commence s’inspire de la méthode d’Eudoxe de Cnide qui consiste à encadrer un cercle de rayon 1 par des polygones réguliers dont il sait calculer le périmètre de façon précise. Ainsi, p_{polygone_inscrit}<\pi<p_{polygone_circonscrit}. Il applique cette méthode en prenant des polygones de plus en plus grands – jusqu’à 96 côtés – et obtient une valeur approchée de pi.

750px-archimedes_pi-svg

Méthode d’exhaustion

En Chine, Liu Hui utilise, en 263, la méthode d’Archimède avec des polygones à 192 côtés puis 3072 côtés pour trouver une approximation de pi au cent-millième. Au début du XVème siècle 14 décimales sont ainsi connues. En occident des grands noms des mathématiques comme Fibonacci s’intéressent également à la question mais leurs résultats ne surpassent pas ceux précédemment cités. En 1609, l’allemand Ludolph van Ceulen reprend cette fameuse méthode avec des polygones à 60*2^{33} côtés ! Cela permet d’obtenir 34 décimales exactes.

C’est à partir du XVIIème siècle, les records se succèdent grâce à l’avénement de l’analyse par Wallis, Newton, Leibniz… Ils conçoivent des sommes et produits infinis de plus en plus performants.

\frac{\pi}{4}=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-...

Cette étape marque la sortie de la sphère de l’utilité, en effet, 40 décimales suffisent pour calculer le périmètre d’un cercle englobant tout univers observable et ceux avec la précision d’un atome d’hydrogène… Mais alors pourquoi cette course aux décimales continue-t-elle ? Pourquoi ce nombre fascine-t-il encore ? Nous étudions ces questions dans un second temps mais continuons pour l’instant notre avancée historique.
En 1647, William Oughtred choisi la lettre grecque π – première lettre du mot περιμετροξ (périmètre) – pour la notation de la constante. cette-dernière s’imposera grâce aux publications de Leonard Euler.
William Shanks passa 20 ans de sa vie à calculer, pour publier enfin en 1874, les 707 premières décimales de π. Il fallut attendre 1946 et l’arrivée des ordinateurs pour constater que « seules » 528 décimales étaient exactes. La vérification de celles-ci sans machine nécessitait en effet à nouveau 20 ans de travail et le vérificateur resterait de l’oubli si Shanks possédait la bonne approximation. Personne n’entreprit donc cette tâche.
Srinivasa Ramanujan fut en 1910 à l’origine d’une formule d’une telle efficacité qu’elle est encore utilisée par certains ordinateur, à chaque itération 8 décimales sont découvertes :

\pi =\frac{9801}{2\sqrt{2}}\left (\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(4n)!(1103+26390n )}{(n!)^4396^{4n}}\right )^{-1}

Il faut attendre 84 ans avant qu’elle ne soit dépassée par David Chudnovsky et les frères Gregory, 14 décimales sont produites à chaque itération :

\pi=\left(12\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}(6n)!(13591409+545140134n)}{(3n!)(n!)^{3}(640320)^{3n+\frac{3}{2}}}\right)^{-1}

Avec des formules encore plus complexes 13 300 000 000 000 décimales ont été calculées en octobre 2014 par un ordinateur, les réciter – au rythme de 12 heures par jour et d’une décimale par seconde – prendrait plus de 840 000 années. A titre de comparaison, l’actuel record du monde de mémorisation de la constante est de 67 00 décimales…
Les principale raisons poussant ces recherches étaient premièrement de tester la fiabilité et la rapidité des ordinateurs mais rapidement cela devint une nécessité pour satisfaire les besoins en nombres aléatoires notamment. Les décimales de pi jouent  également un rôle majeur en cryptographie. C’est aussi un terrain d’expérimentation pour certaines hypothèse que nous verrons en fin d’article.

Il est désormais temps de comprendre la raison de cette fascination. π n’est pas seulement le rapport entre la circonférence d’un cercle et son diamètre, un carré de côté x a une aire π fois plus petite q’un cercle de même côté. Du moins c’est l’impression que les grecs eurent : 3,14159… mais est-ce bien exactement π ? Il serait tout à fait possible que ces deux nombres divergent à la dixième décimale ou à la gogolième. 2000px-cercle12circarea-svgPour élucider la question Archimède prit un disque et découpons-le en un nombre x de parts. A partir de ces parts il est possible de réliser une fresque en alternant le sens de celles-ci.
Il remarque qu’en augmentant le nombre de sections, la figure se rapproche de plus en plus d’un rectangle, elle tend vers un rectangle. Il devient alors aisé de calculer l’aire de celui-ci et donc l’aire du disque. A_{disque}=A_{rectangle}=l*L=\frac{circonference}{2}=rayon*rayon*\pi . Or le rayon multiplié par lui même correspond à l’aire du carré précédemment évoqué, le rapport entre le disque et celui-ci est donc précisément pi ! Il apparaît également dans le calcul de l’aire des ellipses et dans celui du volume des ellipsoïdes mais nous restons ici dans le cadre de la géométrie du cercle.

Cependant, en 1733 le scientifique Buffon propose une expérience de probabilités : Si on laisse tomber une aiguille de longueur $latex 2a$ sur un parquet formé de lames de largeur 2b, la probabilité pour que l’aiguille coupe l’une des raies de ce parquet est \frac{2a}{\pi*b} ! Une autre question trouvant une réponse déroutante au premiers abords est celle de la proportion de nombres premiers entre eux parmi tous les couples de nombre possibles. Cette proposition vaut exactement \frac{6}{\pi*\pi}.
Regardons désormais du côté de l’analyse, si nous calculons la somme infinie \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}=\frac{1}{1}+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\frac{1}{16}+\frac{1}{25}+... on obtient \frac{\pi*\pi}{6}.

C’est sans doute cela qui est à l’origine de l’immortel intérêt pour la constante qui transcende toute la mathématique. Il est même emprunt de mystère : une conjecture largement défendue par la communauté mathématique est celle du nombre univers. Cela signifierait que toute suite finie se trouverait dans pi. Il est possible que vous ne mesuriez l’importance de cette déclaration ou que vous la trouviez triviale : si un nombre est infini, c’est normal que tout s’y trouve, rien n’est moins vrai. Imaginez le nombre \frac{1}{3}, il est impossible d’y trouver le chiffre 5. de même on peut construire un nombre aléatoire sans jamais utiliser le chiffre 9 ou la suite 99 ou encore 545245245, il se pourrait que pi soit ainsi construit, sans jamais utiliser une certaine combinaison. Cependant, les mathématiciens pensent que ce n’est pas le cas. Si c’est exact, cela voudrait dire que vous pouvez chercher votre numéro de téléphone suivi de votre date de naissance, de votre numéro de sécurité sociale, de votre numéro de compte bancaire et de votre mot de passe de votre ordinateur suivi d’un milliard de milliards de 0 puis un 4, il sera dans pi ! Si vous remplacez chaque lettre de l’alphabet par un nombre (A:1, B:2, C:3… ou bien le code que vous souhaitez A:4563, B:7524521786521785217, C:0…), Hamlet, suivi de la Bible et de l’intégral de Balzac se trouverait dans pi ! Vous trouvez une version de Germinal où le personnage principal porterait votre prénom immédiatement suivi de toutes les séquences que nous venons de décrire. Vous trouverez l’ensemble des génomes de l’humanité depuis son commencement dans l’ordre que vous voulez (voir e-penser) ! Le nombre de Graham serait alors dans pi ! Si vous cherchez le code source de l’intelligence Artificielle en binaire ou une vidéo de vous-même en train de résoudre le Rubik’s Cube en un temps record, vous le trouverez dans π.

Je serais alors un article sur un nombre qui le contient déjà… une infinité de fois. Je ne puis alors conclure sans vous donner une liste des premières décimales de cette variable – que j’écrirai de mémoire bien entendu -.

3.1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679 8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128 4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038196 4428810975 6659334461 2847564823 3786783165 2712019091 4564856692 3460348610 4543266482 1339360726 0249141273 7245870066 0631558817 4881520920 9628292540 9171536436 7892590360 0113305305 4882046652 1384146951 9415116094 3305727036 5759591953 0921861173 8193261179 3105118548 0744623799 6274956735 1885752724 8912279381 301194912…

Sources

Pour aller plus loin…

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