Le dernier théorème de Fermat

L’équation n>2, a^{n}+ b^{n}= c^{n} n’a pas de solution dans l’ensemble des entiers naturels. Tel est l’énoncé du dernier théorème de Fermat. Derrière son apparente simplicité se cache en fait une épopée mathématique de premier plan.


Le dernier théorème de Fermat a un énoncé étonnement simple, il peut même s’appréhender à partir du théorème de Pythagore. Celui-ci affirmé que tout triangle rectangle – dans une géométrie euclidienne – respecte a^{2}+ b^{2}= c^{2}. Lorsque les trois nombres a, b et c sont entiers, ils constituent ce qu’on appelle un triplet pythagoricien. Les grecs de l’Antiquité s’intéressèrent beaucoup à ceux-ci et démontrèrent qu’ils en existe une infinité parmi lesquels le fameux (3, 4, 5).

Il semble à présent naturel de s’intéresser aux autres équations de ce type mais avec des puissances supérieures : a^{3}+ b^{3}= c^{3}, a^{4}+ b^{4}= c^{4}… Et plus précisément à leurs solutions entières positives. Cependant, après des centaines aucun triplet satisfaisant ces conditions n’est trouvé ! Au XVIIe siècle Fermat affirme que pour tout n>2, a^{n}+ b^{n}= c^{n} n’a pas de solution dans l’ensemble des entiers naturels. Il écrit cela dans la marge de son exemplaire des Arithmétiques de Diophante et annonce même en avoir une superbe démonstration… trop longue pour être écrite à cet endroit.

Au contraire, il est impossible de partager soit un cube en deux cubes, soit un bicarré en deux bicarrés, soit en général une puissance quelconque supérieure au carré en deux puissances de même degré : j’en ai découvert une démonstration véritablement merveilleuse que cette marge est trop étroite pour la contenir.

Pierre de Fermat, dans la marge marge des Arithmétiques de Diophante face à un problème liés aux triplets pythagoriciens

Cependant les mathématiciens s’accordèrent sur le terme de « théorème » de Fermat, et cela pour plusieurs raisons, tout d’abord toutes ses précédentes annotations retrouvées dans les livres publiés par son fils – après la mort de Fermat – en 1670 sont correctes, ensuite il possédait de façon certaine la démonstration des cas n=3 et n=4. Et enfin, en deux millénaires personne n’était parvenu à trouver de contre-exemple. Pierre de Fermat a-t-il alors un jour démontré son dernier théorème ? Beaucoup de spécialistes – si ce n’est tous – pensent que ce n’est pas le cas mais il est impossible d’écarter la possibilité d’une démonstration simple et élégante qui aurait échappé aux plus grands ces trois derniers siècles.

Au XVIIIe siècle ce fut Euler qui échoua mais le problème continua de fasciner et en 1816, l’Académie des sciences de Paris offre une médaille d’or et un prix de 3 000 francs à celui qui résoudrait la question. En 1772, Euler conjectura cependant une généralisation du théorème de Fermat.

Une puissance n-ème au moins égale à 3 ne peut se décomposer en une somme de puissances n-èmes dont les termes sont en nombre moindre que n.

Par exemple, a^{4}+ b^{4} +c^{4}=d^{4} ne pourrait pas avoir de solution, mais, en 1966, les américains L. J. Lander et T. R. Parkin invalidèrent la conjecture pour n = 5 à l’aide du plus puissant ordinateur de l’époque, le CDC6600 (Control Data Corporation).

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En 1988, le mathématicien et joueur d’échecs américain Noam David Elkies, donne un contre-exemple du cas n = 4 : $latex 26824404+153656394+187967604=206156734$. Mais, revenons au Théorème. Legendre démontre le démontre en 1825 pour le cas n=5 et Dirichlet le cas n=14 en 1832. Mais c’est en 1847 qu’un pas significatif fut réalisé : Ernst Kummer introduit le nombres idéaux et prouve que pour tout 2<n<100, a^{n}+ b^{n}= c^{n} n’a pas de solution entières naturelles. 100 ans plus tard en 1952, Harry Vandiver réalise – à l’aide d’un ordinateur – le même exploit mais avec tous les exposants jusqu’à 2000. Cependant, la conjecture générale résiste encore et toujours…

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Andrew Wiles

En 1993, Andrew Wiles annonce en conclusion d’une conférence de trois jours sur les courbes elliptiques, que le grand théorème de Fermat est un corollaire (proposition qui se déduit immédiatement d’une proposition déjà démontrée) de ses démonstrations ! Sa preuve est amenée devant une équipe de six spécialistes – contre les trois habituels – nommés par Barry Mazur. Chacun d’entre eux est responsable d’une partie de mal démonstration. Parmi eux figurent Nick Katz et Luc Illusie, que Katz a appelé en juillet pour l’aider; la partie de la preuve dont il a la charge est en effet duel grande complexité, le système d’Euler devant perte appliqué. Gerd Faltings, Ken Ribet et Richard Taylor forment le reste de l’équipe.

On travaille dans la plus grande confidentialité, l’atmosphère est tendue, le poids du secret est lourd à porter.

Katz transmis par la suite une note à Wiles lui demandant d’éclaircir quelques points et bien qu’il s’en chargea rapidement Luc Illusie et lui-même durent admettre qu’on ne pouvait pas dans ce contexte utiliser le fameux sytème d’Euler indispensable à la preuve. Peter Sarnak lui conseille de demander de l’aide à Taylor. Les tentatives pour combler la faille demeurent cependant désespérés, il est désormais sous le feu des projecteurs et vit une période très difficile. Il se résigne, il a échoué après 7 ans de dur labeur… Neuf mois plus tard, Taylor propose quelque chose : reprendre la ligne d’attaque (Flach-Kolyvagin) utilisée trois ans auparavant. Wiles est convaincu de l’inutilité de la démarche mais se laisse convaincre – surtout pour prouver à Taylor qu’il a tord -. Environ deux semaines après le début de ses recherches :

En un éclair, je vis que toutes les choses qui l’empêchaient de marcher c’était ce qui ferait marcher une autre méthode (théorie d’Iwasawa) que j’avais travaillée auparavant.

Andrew Wiles

Alors que prises séparément, les approches de Flach-Kolyvagin et d’Iwasawa étaient inadéquates, ensemble, elles se complétaient. Le 25 octobre 1994, deux manuscrits sont publiés : Les courbes modulaires elliptiques et le Dernier Théorème de Fermat par Andrew Wiles et Les propriétés annulaires théoriques de certaines fonctions de Hecke par Andrew Wiles et Richard Taylor. Le premier démontre le théorème de Fermat en s’appuyant sur le second. La version finale date de 1995 et est constituée de 551 pages. 1

Dis ans plus tard, en 2004, C. Khare, J.P. Wintenberger, et indépendamment L. Dieulefait ont démontré un cas particulier de la conjecture de Serre (niveau 2, poids 2) dont une des conséquences est le dernier théorème de Fermat; après 350 ans d’effort, c’est ainsi deux démonstrations virent le jour en une décennie. Cependant, intéressons-nous ici à la première démonstration du dernier théorème de Fermat de l’Histoire. Pour y parvenir Andrew a utilisé un cas particulier de la conjecture de Shimura-Taniyama-Weil en s’appuyant sur les travaux de Yves Hellegouarch en 1971, puis de Gerhard Frey, Jean-Pierre Serre et Ken Ribet. Pour vous donner une idée de la complexité des concepts utilisés voici quelques uns des objets mathématiques utilisés : formes modulaires, aux représentations galoisiennes, à la cohomologie galoisienne, aux représentations automorphes à une formule des traces… Même l’auteur de cet article ne serait en mesure d’expliciter tous ces termes. Toutefois, il est possible d’étudier le cheminement du travail du mathématicien.

La preuve est construite en cinq étapes majeures : il se ramène d’abord aux cas d’exposants n premiers impairs – soit tous les nombres premiers différents de 2 -. Ensuite, il associe à une solution (x, y, z) non triviale (c’est-à-dire xyz \neq 0) avec les entiers relatifs x, y, z premiers entre eux, une courbe elliptique particulière. Puis il démontre que la courbe de Frey-Hellegouarch ne peut pas être paramétrée par des fonctions modulaires (théorème de Ribet, démontrant une conjecture de Serre). Par la suite, il démontre que toute courbe elliptique est paramétrée par des fonctions modulaires : c’est la conjecture de Shimura-Taniyama-Weil. La contradiction qui en résulte montre que l’équation de Fermat ne peut avoir de solutions. CQFD !

Evidement ce problème n’a pas cessé d’alimenter la curiosité pour autant, nombre sont ceux qui cherchent une nouvelle démonstration du théorème plus simple et plus belle. La culture populaire aussi a été marquée par la conjecture devenue théorème. The Devil and Simon Flagg, Dr Who, Star Trek, Arcadia… y font allusion. C’est cependant dans le célèbre dessin animé Les Simpson – dont l’équipe compte plusieurs mathématiciens – que ces apparitions sont les plus remarquées. Dans The Wizard of the Evergreen Terrace S10 EP2, Homer se transforme en inventeur de génie et on peut lire sur un tableau noir : 3987^{12} + 4365^{12}  = 4472^{12}.

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L’  » égalité  » des Simpsons

En vérifiant sur une calculatrice scientifique, on obtient pour chacun des membres le même résultat, Fermat se serait-il trompé ? En fait non, les deux résultats différent de façon presque imperceptible. Un autre calcul similaire est visible dans Treehouse of Horror IV S7 EP6, 1782^{12} + 1841^{12}  = 1922^{12}, ici le résultat est visiblement faux : un nombre impair à une puissance paire plus un nombre pair à une puissance paire donne un nombre impair à une puissance paire. Or 1922 est pair !

Mais si le théorème général était d’une telle simplicité de démonstration pour tous le exposants et pour tous les triplets, il perdrait surement de sa beauté et de son caractère fascinant.

Sources

Pour aller plus loin…

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2 réflexions sur “Le dernier théorème de Fermat

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