Carl Friedrich Gauss

Carl Friedrich Gauss, le Prince des mathématiciens, est considéré à la fois comme le dernier mathématicien classique et le premier mathématicien moderne. Il résolu en effet les problèmes du premier avec les outils du second.

Gauss est né le 30 avril 1777 à Brunswick. Il est le seul enfant d’une famille modeste mais né d’un père savant lire et écrire. Sa mère ne savait que lire mais fut d’un considérable soutient pour le génie.
A l’âge de 5 ans, son instituteur demanda à la classe d’écrire sur leur ardoise la somme des 100 premiers entiers neturels 1+2+3+...+98+99+100. Il répondit en quelques secondes : 5050!728px-sum-the-integers-from-1-to-n-step-3-version-3 Gauss n’avait en fait pas réalisé la fastidieuse opération mais avait remarqué la chose suivante : si on écrit cette suite sous sa version renversée, cela correspondait à 0+100 = 100 + 1 + 99 = 100.... Ainsi la somme recherche était 101*100/2 = 5050. On peut se demander si un enfant de cet âge peut réaliser un tel exploit mais comme souvent avec les personnes de légende, les anecdotes qui leurs sont attribuées sont parfois plus allégoriques que vraies.
D’autres sources parlent de son entrée à l’école à l’âge de sept ans, il est cependant presque certains qu’il savait déjà lire et écrire lorsqu’il le fit. Il maîtrisa le français, le latin et le grec en deux années.

Son maître l’incita à poursuivre ses études et il entra au Collegium Carolinum après avoir obtenu une bourse de la part du duc de Brunswick.

Sa première découverte mathématique majeure eut lieue en 1796, en étudiant l’équation x^{17}-1=0, il remarqua que les solutions sont également réparties sur le cercle unité, il en déduisit une construction – à la règle et au compas – de l’heptadécagone, polygone régulier à 17 côtés. Il allait même plus loin dans son analyse et conclua en s’appuyant sur les travaux de Wantzel :

Un polygone à n côtés est constructible si et seulement si n est le produit d’une puissance de 2 et de nombres premiers de Fermat – nombres de la forme 2^{r}+1 comme  3, 5, 17, 257, et 65537… – distincts.

Gauss ne le démontra pas mais la réciproque est vraie.

Peu après son entrée à l’université, à 19 ans, il fournit la preuve de la loi de la « réciprocité quadratique » ce que ni Euler ni Legendre n’étaient parvenu à faire. Au cours de sa vie, Carl Friedrich donna huit démonstrations différentes suite à ses recherches pour généraliser la loi.
800px-carl_friedrich_gauss_1840_by_jensenEn 1799, lors de sa thèse de doctorat il démontra le théorème fondamental de l’algèbre en corrigeant et complètant la tentative de preuve de d’Alembert.

Tout polynôme non constant de degré n, à coefficients complexes, admet au moins une racine complexe et admet en général n racines.

Sa démonstration basée sur la topologie n’est cependant pas pleinement satisfaisante et ce fut Ostrowski qui la rendit parfaitement rigoureuse. Cette-dernière caractéristique fut néanmoins présente chez les trois autres démonstrations qu’il présenta dans les décennies qui suivirent.

En 1801, Gauss publie Disquisitiones Arithmeticae, un ouvrage consacré à la théorie des nombres qu’il appelait la « reine des mathématique ». Il y développe la théorie des congruences ainsi que le petit théorème de Fermat et le théorème de Wilson. C’est également dans ce traité que deux de ses démonstrations de la réciprocité quadratique furent présentées. La première est basée sur un raisonnement par récurrence mais est parfaitement illisible, la seconde – beaucoup plus claire – faisant appel à l’étude fine des formes quadratiques. Il publia ainsi en 1828 et en 1832 deux mémoires sur la loi de réciprocité biquadratique où il introduisit les nombres complexes de la forme x+yi avec x; y \in \mathbb{N}: les entiers de Gauss. Par la suite, il démontra le théorème de Fermat pour n = 3 et n = 3. L’année 1801 est également marquée par la découverte de l’astéroïde Cérès par Piazzi, un mois après il fut cependant masqué par le soleil. Gauss entend parler de la découverte et cherche à calculer l’orbite de l’astre. Il développa ainsi la méthode des des moindres carrés qu’il exposa en 1809 soit trois ans après que Legendre l’ait lui aussi découverte. Une querelle éclata alors entre les deux savants quand à la paternité de la méthode.

Quoi qu’il en soit, en décembre, l’astéroïde se trouva à l’endroit exact où l’avait prédit Gauss. Sa renommée devint internationale et un poste à l’université de St-Petersbourg lui fut offert. Il accepta finalement celui de directeur de l’observatoire Göttingen en 1807. Pendant de nombreuses années il reste la référence en matière de calculs astronomiques grâce à son traité Theoria motus corporum coelestium in sectionibus conicis Solem ambientium publié en 1809.

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Courbe de Gauss

C’est dans celui-ci qu’il aborde la fameuse loi normale – ou loi de Gauss-. Sa densité de probabilité étant donné par la formule : densite_normale

Cette-même année, sa femme Johanna Osthoff décède en donnant naissance à leu troisième enfant. Cependant, il ne tardera pas, lui aussi, à s’éteindre. Le génie entre alors dans une période de mélancolie qui ne le quittera plus. En 1810, il épouse la meilleure amie de sa première femme : Minna Waldeck. Ce mariage de raison ne soulage pas sa peine. Sa carrière scientifique est dans le même temps récompense par le Prix Lalande décerné par l’Académie des sciences de France.
A partir de 1817, il décide d’arrêter ses travaux en astronomie mais continuera à observer la voute céleste. Il améliora ainsi les lentilles pour corriger une anomalie faisant converger la lumière en différents points selon la longueur d’onde. Son approche – travailler avec des petits angles d’incidence et de réfraction – ne permet cependant pas de réaliser de véritables découvertes. L’année suivante il est chargé d’améliorer la précision des cartes de l’époque à des fins aussi bien militaires que civiles. Il choisit de s’orienter vers la triangulation et voyage de nombreuses année dans l’Allemagne du Nord. Il s’intéresse également aux surfaces courbes et aux géodésiques1 en introduisant  les notions de représentation sphérique.

Il étudiera la suite la courbure des espaces et énonce son fameux theorema egregium : elle peut se calculer en utilisant uniquement des mesures d’angles et de distances et en restant en dimension 2 !
C’est également lui qui découvrit la formule sur la somme de triangles géodésiques – formule de Gauss-Bonnet, indissociable des géométries non euclidiennes. Il refuse cependant de publier ces travaux appréhendant les réactions à de telles réalités. Cette « étrange géométrie, tout à fait différent de la nôtre, entièrement conséquente en elle-même » contredisait la philosophie de Kant selon laquelle l’espace (euclidien) est un a priori antérieur à toute expérience.
En 1828, il rencontre Wilhelm Weber et s’intéresse de plus en plus à la physique théorique. Il définit alors la définition du potentiel appliqué à la mécanique mais surtout à l’électromagnétisme. Gauss réussit ainsi, en 1831, à faire nommer Weber professeur de physique à Göttingen et c’est au tour de Minna Waldeck de quitter la vie après 13 ans de maladie. Isaac Asinov affirme qu’il était alors en train de résoudre un problème et qu’il répondit à la servante qui l’avait prévenu « Dites-lui d’attendre un moment que j’aie fini ». Ce qui néanmoins est sûr, c’est que sa fille Thérèse s’occupa alors de lui tandis que ses fils migrent aux Etas-Unis. A la même période, commence alors une collaboration de six ans au sujet du magnétisme terrestre. Ils en mesurent l’intensité, la déclinaison et l’inclinaison grâce à l’appareil conçu par Karl Gauss : le magnétomètre. Deux théorèmes fondamentaux de la théorie naquirent : il n’existe pas de monopole magnétique et le flux d’un champ électrique à travers une surface fermée est proportionnel à la charge électrique totale contenue à l’intérieur de la surface.
Enfin, ils découvrent les lois de Kirchhoff et mettent au point un télégraphe qui pouvait envoyer des messages à plus d’un kilomètre de distance. C’est de ces recherches que deux unités naquirent : le Gauss et le Weiber respectivement d’induction magnétique et du flux d’induction magnétique. Il est de nouveau récompensé en 1838 par la Médaille Copley de la Société royale de Londres.
A partir de 1840, ses publications concernent des variations de travaux précédents et des problèmes mineurs, mais il reste actif et étudie Lobachevsky, Eisenstein, les statistiques et les mathématiques financières. Il réalise de nombreuses spéculation et constitue un capital de 200 fois son revenu annuel. Il prend par la suite goût à l’enseignement – sûrement grâce aux mathématiciens alors étudiants Dedekind, Riemann et Cantor -.
La décennie suivante, bien que menant un régime consciencieux, il commence à souffrir de maux cardiaques. En 1853, Riemann commence la rédaction de sa thèse (Habilitationsschrift) sur les fondements de la géométrie, un sujet difficile choisi par Gauss. La soutenance de 1854 marque symboliquement le début de la relève allemande prête a succéder au « prince des mathématiciens ». Carl Friedrich Gauss meurt dans son somme le 23 février 1855 à Göttingen.
Entre 1863 à 1929 de nombreuses publications posthumes ont lieu bien que l’ordre d’écriture ne soit pas respecté. En effet, en. 1898 son petit-fils découvre le journal scientifique du savant contenant 146 énoncés d’analyse, d’algèbre et de théorie des nombres. On y trouve une conjecture sur la répartition des des nombres premiers, une étude des fonctions complexes ou encore des travaux sur les géométries non-euclidiennes. Ce fascicule ainsi que sa correspondance éclairent son incroyable fertilité et démontrent qu’il détint la paternité des recherches dans bien des domaines.

Sources


  1. Chemins les plus courts joignant deux points sur une surface. 
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